viernes, 14 de febrero de 2014

La suma de ángulos internos de un triángulo esférico

Verificar que la suma de los ángulos internos ${\alpha,\,\beta,\,\gamma}$ de un triángulo esférico de área $A$ sobre esta superficie de radio $a$ es \begin{equation}\alpha+\beta+\gamma=\pi+\frac{A}{a^2}\end{equation} es un problema bastante divertido y el resultado es uno sencillo pero de gran relevancia cuando uno se dispone a estudiar otras geometrías (para los físicos, por supuesto en Relatividad General). Vale, para empezar, fijemos ${\alpha,\beta=\pi/2}$, entonces podemos escribir \begin{equation}\alpha+\beta+\gamma=\pi+\gamma\end{equation} que se satisface trivialmente para cualquier $\gamma$. Gráficamente esto corresponde en la situación que nos interesa a

El elemento de área en coordenadas esféricas para un radio fijo $a$ es \begin{equation}dA\equiv{a}^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta\label{dag1}\end{equation} con $\theta$ el ángulo polar y $\phi$ el ángulo azimutal, entonces el área del hemisferio norte de la esfera de la figura, i.e. para ${\theta\in[0,\pi/2]}$, en términos del ángulo azimutal es \begin{equation}A_N=a^2\phi\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=a^2\phi\end{equation} pero en este caso $\gamma$ es precisamente idéntico al ángulo azimutal y entonces ${A_N}$ corresponde al área $A$ del triángulo ${ABC}$ de la figura, de modo que \begin{equation}\gamma=\frac{A}{a^2}\end{equation} de donde se sigue que \begin{equation}\alpha+\beta+\gamma=\pi+\frac{A}{a^2}\end{equation}

Para hacer esto de modo general lo más sencillo es de nuevo relacionar el área de la esfera con alguna propiedad del triángulo. Considérese el siguiente triángulo


Se puede seccionar entonces el área de la esfera considerando los siguientes biángulos relacionados a cada vértice


Evidentemente el triángulo $ABC$ está contenido dos veces (el otro en la parte punteada de los dibujos) en cada uno de los biángulos, digamos ${\mathcal{B}_A}$, ${\mathcal{B}_B}$ y ${\mathcal{B}_C}$. Esto significa que, \begin{equation}\mathcal{A}(\mathcal{S}^2)=\mathcal{A}(\mathcal{B}_A)+\mathcal{A}(\mathcal{B}_B)+\mathcal{A}(\mathcal{B}_C)-4\mathcal{A}(\triangle{ABC})\end{equation} para las áreas $\mathcal{A}$ correspondientes. Ahora bien, para cualquier biángulo ${\mathcal{B}_x}$ uno puede fijar su vértice en un polo y calcular su área a partir del elemento de área (\ref{dag1}), \begin{equation}\mathcal{A}(\mathcal{B}_x)=a^2\chi\int_0^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2a^2\chi\end{equation} donde $\chi$ es el ángulo asociado al biángulo (equivalente al ángulo azimutal en el cálculo), entonces se sigue que \begin{equation}4\pi{a}^2=a^2(4\alpha+4\beta+4\gamma)-4A\end{equation} donde $A$ es el área de ${\triangle{ABC}}$, es decir \begin{equation}\alpha+\gamma+\beta=\pi+\frac{A}{a^2}\end{equation} como se quería mostrar.